Optika Birfringensi

Kristal anisotropik, indeks bias biasa dan luar biasa, pelat gelombang, retardasi fasa, turunan matriks Jones, dan film kompensasi optis.

5.1 Kristal Anisotropik dan Indeks Bias

5.1.1 Material Isotropik versus Anisotropik

Dalam material isotropik (seperti kaca, air, plastik isotropik), indeks bias sama untuk semua arah polarisasi dan arah perambatan. Seberkas cahaya yang masuk ke material isotropik hanya mengalami satu refraksi dan tetap sebagai satu berkas.

Dalam material anisotropik (seperti kalsit, kuarsa, dan kristal cair), indeks bias bergantung pada arah polarisasi cahaya dan arah perambatan relatif terhadap sumbu kristal. Akibatnya, cahaya dapat mengalami refraksi ganda (double refraction) atau birefringence.

Simulasi Interaktif: Perambatan Gelombang Isotropik vs Anisotropik

Sinar Datang (Unpolarized)

Sinar Bias Tunggal

5.1.2 Indeks Bias Biasa dan Luar Biasa

Dalam kristal anisotropik uniaksial, terdapat dua indeks bias:

Indeks bias biasa ($n_o$): Berlaku untuk cahaya yang polarisasi tegak lurus terhadap bidang yang memuat sumbu optik dan arah perambatan. Nilai $n_o$ konstan untuk semua arah perambatan.
Indeks bias luar biasa ($n_e$): Berlaku untuk cahaya yang polarisasi dalam bidang yang memuat sumbu optik dan arah perambatan. Nilai $n_e$ bergantung pada sudut antara arah perambatan dan sumbu optik.

Berdasarkan perbandingan $n_o$ dan $n_e$:

Kristal positif: $n_e > n_o$ (contoh: kuarsa, TiO₂).
Kristal negatif: $n_e < n_o$ (contoh: kalsit, kristal cair nematik).

5.1.3 Ellipsoid Indeks Bias

Dependensi indeks bias terhadap arah dalam kristal dapat divisualisasikan melalui ellipsoid indeks bias (index ellipsoid atau optical indicatrix). Untuk kristal uniaksial, ellipsoid ini berbentuk elips putar dengan persamaan:

$$\frac{x^2}{n_o^2} + \frac{y^2}{n_o^2} + \frac{z^2}{n_e^2} = 1$$

(Persamaan 5.1)

di mana sumbu $z$ sejajar dengan sumbu optik. Jarak dari pusat ke permukaan ellipsoid dalam arah perambatan tertentu memberikan indeks bias untuk polarisasi yang sesuai.

Visualisasi Interaktif: Ellipsoid Indeks Bias Kristal Uniaksial

Sumbu x, y — n_o (lingkaran ekuatorial)

Sumbu z (optik) — n_e (elips meridional)

Potongan tegak lurus arah k

Catatan: nilai n_o dan n_e diperbesar untuk kejelasan visualisasi. Pada kuartza nyata, Δn ≈ 0,009; pada kalsit, Δn ≈ −0,172.

5.2 Birfringensi

5.2.1 Refraksi Ganda

Birfringensi (birefringence) adalah fenomena di mana sebuah berkas cahaya yang memasuki material anisotropik terpisah menjadi dua berkas dengan polarisasi tegak lurus yang merambat dengan kecepatan berbeda. Besarnya didefinisikan sebagai selisih indeks bias:

◆ Definisi — Birfringensi

$$\Delta n = n_e - n_o$$

(Persamaan 5.2)

Untuk kristal cair nematik tipikal (seperti 5CB), $\Delta n \approx 0{,}15$–$0{,}20$ pada suhu kamar. Nilai ini jauh lebih besar dibandingkan kebanyakan kristal padat (kalsit: $\Delta n \approx -0{,}172$; kuarsa: $\Delta n \approx +0{,}009$).

5.2.2 Sumbu Optik

Sumbu optik (optic axis) adalah arah dalam kristal di mana cahaya tidak mengalami refraksi ganda, yaitu arah di mana $n_e(\theta) = n_o$. Untuk kristal uniaksial, terdapat satu sumbu optik. Untuk kristal biaksial, terdapat dua sumbu optik.

Ketika cahaya merambat sepanjang sumbu optik, kedua komponen polarisasi memiliki indeks bias yang sama ($n_o$), sehingga tidak ada pemisahan berkas dan tidak ada retardasi fasa. Ini berarti bahwa orientasi molekul kristal cair relatif terhadap arah perambatan cahaya sangat menentukan perilaku optiknya.

5.3 Gelombang dalam Media Birfringen

5.3.1 Perambatan dan Retardasi Fasa

Ketika cahaya terpolarisasi linear memasuki pelat birfringen dengan ketebalan $d$, komponen polarisasi yang sejajar dengan sumbu biasa dan sumbu luar biasa merambat dengan kecepatan berbeda. Setelah keluar dari pelat, terdapat perbedaan fasa (phase retardation) antara kedua komponen.

◆ Rumus — Retardasi Fasa

$$\Gamma = \frac{2\pi}{\lambda} \, \Delta n \, d$$

(Persamaan 5.3)

di mana $\Gamma$ adalah retardasi fasa (radian), $\lambda$ adalah panjang gelombang cahaya di vakum, $\Delta n$ adalah birfringensi, dan $d$ adalah ketebalan material. Retardasi juga sering dinyatakan dalam satuan panjang gelombang:

$$\Gamma_\lambda = \frac{\Delta n \cdot d}{\lambda}$$

(Persamaan 5.4)

◆ Contoh Soal — Menghitung Retardasi Fasa Pelat Kuarsa

Soal: Sebuah pelat kuarsa ($\Delta n = 0{,}009$) memiliki ketebalan $d = 0{,}1$ mm. Hitunglah retardasi fasa untuk cahaya dengan panjang gelombang $\lambda = 550$ nm.

Penyelesaian:

Konversi satuan: $d = 0{,}1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4}$ m. Hitung bilangan gelombang:

$$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{550 \times 10^{-9}} = 1{,}1424 \times 10^7 \text{ rad/m}$$

(Persamaan 5.5)

Retardasi fasa:

$$\Gamma = (1{,}1424 \times 10^7) \times 0{,}009 \times (1 \times 10^{-4}) = 1{,}1424 \times 0{,}009 \times 10^3 = 10{,}28 \text{ rad}$$

(Persamaan 5.6)

Konversi ke derajat dan satuan panjang gelombang:

$$\Gamma = 10{,}28 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 589^\circ, \qquad \Gamma_\lambda = \frac{10{,}28}{2\pi} \approx 1{,}636 \approx 1{,}64\lambda$$

(Persamaan 5.7)

Jadi, retardasi fasa adalah 10,28 rad (sekitar 589°), setara 1,64 panjang gelombang. Pelat kuarsa 0,1 mm sudah menghasilkan retardasi lebih dari satu gelombang penuh. Sebagai perbandingan, untuk retardasi tepat satu gelombang ($\Gamma = 2\pi$) pada 550 nm dengan kuarsa, hanya dibutuhkan $d = \lambda / \Delta n = 550 / 0{,}009 \approx 61{,}1\;\mu\text{m}$ — sekitar 61% dari ketebalan 0,1 mm.

5.3.2 Turunan Matematis Perbedaan Fasa

Misalkan cahaya terpolarisasi linear pada sudut 45° terhadap sumbu-sumbu utama pelat birfringen, sehingga kedua komponen memiliki amplitudo sama $E_0/\sqrt{2}$. Setelah melewati pelat:

$$E_x = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \cos(kz - \omega t), \qquad E_y = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \cos(kz - \omega t + \Gamma)$$

(Persamaan 5.8)

Bentuk polarisasi keluaran bergantung pada nilai $\Gamma$:

$\Gamma = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$: Polarisasi linear (tidak ada perubahan).
$\Gamma = \pi/2, 5\pi/2, \ldots$: Polarisasi sirkular (pelat $\lambda/4$).
$\Gamma = \pi, 3\pi, \ldots$: Polarisasi linear dengan arah diputar (pelat $\lambda/2$).
Nilai $\Gamma$ lainnya: Polarisasi eliptis umum.

◆ Contoh Soal — Ketebalan Sel LCD Mode TN

Soal: Kristal cair dengan $\Delta n = 0{,}15$ digunakan dalam sel LCD mode TN. Berapakah ketebalan sel yang diperlukan agar $d\Delta n \approx 318$ nm (formula $\lambda/\sqrt{3}$ untuk $\lambda = 550$ nm)? Berapakah retardasi fasanya?

Penyelesaian:

$$d = \frac{\lambda}{\sqrt{3} \cdot \Delta n} = \frac{550 \times 10^{-9}}{1{,}732 \times 0{,}15} = \frac{550 \times 10^{-9}}{0{,}2598} = 2{,}117 \times 10^{-6} \text{ m} = 2{,}117\;\mu\text{m}$$

(Persamaan 5.9)

Verifikasi $d\Delta n$:

$$d\Delta n = 2{,}117 \times 10^{-6} \times 0{,}15 = 3{,}176 \times 10^{-7} \text{ m} = 317{,}6 \text{ nm} \approx 318 \text{ nm} \;\checkmark$$

(Persamaan 5.10)

Retardasi fasa aktual:

$$\Gamma = \frac{2\pi}{550 \times 10^{-9}} \times 0{,}15 \times 2{,}117 \times 10^{-6} = 1{,}1424 \times 10^7 \times 0{,}15 \times 2{,}117 \times 10^{-6} = 3{,}63 \text{ rad} \approx 208^\circ$$

(Persamaan 5.11)

Dalam satuan panjang gelombang:

$$\Gamma_\lambda = \frac{3{,}63}{2\pi} \approx 0{,}578$$

(Persamaan 5.12)

Jadi, ketebalan sel = 2,117 μm dengan $d\Delta n \approx$ 318 nm dan retardasi fasa = 3,63 rad (sekitar 208°), setara 0,578λ. Nilai $\Gamma \approx 3{,}63$ rad (bukan $\pi/2$) di sini bukan kesalahan — pada mode TN, molekul LC tersusun spiral sehingga jalur efektif cahaya melalui LC lebih panjang dari ketebalan fisik $d$. Jika dibutuhkan retardasi $\pi/2$ sebenarnya (pelat $\lambda/4$ dari LC), diperlukan $d = \lambda/(4\Delta n) = 550/(4 \times 0{,}15) \approx 0{,}92\;\mu\text{m}$.

5.4 Kompensator dan Pelat Gelombang

Simulasi Interaktif: Transformasi Polarisasi oleh Pelat Gelombang

E_x — Sumbu Cepat (Fast)

E_y — Sumbu Lambat (Slow)

Polarisasi masukan

Polarisasi keluaran

5.4.1 Pelat Seperempat Gelombang (λ/4)

Pelat $\lambda/4$ memberikan retardasi fasa $\Gamma = \pi/2$, yang memenuhi kondisi:

$$d_{\lambda/4} = \frac{\lambda}{4\,|\Delta n|}$$

(Persamaan 5.13)

Pelat ini mengubah polarisasi linear menjadi polarisasi sirkular (jika arah polarisasi linear membentuk 45° terhadap sumbu cepat pelat) atau sebaliknya. Dalam LCD, pelat $\lambda/4$ digunakan dalam konfigurasi tertentu untuk mengkonversi polarisasi linear menjadi sirkular guna mengurangi reflektansi.

◆ Contoh Soal — Pelat λ/4 untuk Kristal Cair

Soal: Hitung ketebalan pelat $\lambda/4$ untuk kristal cair ($\Delta n = 0{,}15$) pada panjang gelombang 550 nm.

Penyelesaian:

$$d_{\lambda/4} = \frac{550 \times 10^{-9}}{4 \times 0{,}15} = \frac{550 \times 10^{-9}}{0{,}60} = 9{,}167 \times 10^{-7} \text{ m} = 0{,}917\;\mu\text{m}$$

(Persamaan 5.14)

Verifikasi retardasi:

$$\Gamma = \frac{2\pi}{550 \times 10^{-9}} \times 0{,}15 \times 9{,}167 \times 10^{-7} = 1{,}1424 \times 0{,}15 \times 9{,}167 = 1{,}571 \text{ rad} = \frac{\pi}{2} \text{ rad} \;\checkmark$$

(Persamaan 5.15)

Jadi, ketebalan pelat $\lambda/4$ = 0,917 μm dengan retardasi fasa $\pi/2$ terpenuhi. Sebagai perbandingan, kuarsa ($\Delta n = 0{,}009$) membutuhkan $d = 550/(4 \times 0{,}009) \approx 15{,}3\;\mu\text{m}$ — sekitar 17 kali lebih tebal dari kristal cair karena birfringensi kristal cair jauh lebih besar.

5.4.2 Pelat Setengah Gelombang (λ/2)

Pelat $\lambda/2$ memberikan retardasi fasa $\Gamma = \pi$:

$$d_{\lambda/2} = \frac{\lambda}{2\,|\Delta n|}$$

(Persamaan 5.16)

Pelat ini memutar arah polarisasi linear sebesar $2\theta$, di mana $\theta$ adalah sudut antara polarisasi masukan dan sumbu cepat pelat. Polarisasi keluaran selalu merupakan cerminan (refleksi) polarisasi masukan tentang sumbu cepat.

◆ Contoh Soal — Pelat λ/2 Memutar Polarisasi

Soal: Cahaya terpolarisasi linear pada sudut 30° terhadap sumbu cepat sebuah pelat $\lambda/2$. Tentukan arah polarisasi keluaran.

Penyelesaian:

Komponen medan listrik masuk (sumbu cepat = $x$, sumbu lambat = $y$):

$$E_x(0) = E_0 \cos 30^\circ = \frac{E_0\sqrt{3}}{2}\cos\omega t, \qquad E_y(0) = E_0 \sin 30^\circ = \frac{E_0}{2}\cos\omega t$$

(Persamaan 5.17)

Setelah pelat $\lambda/2$, komponen sepanjang sumbu lambat mendapat tambahan fasa $\pi$:

$$E_x(z) = \frac{E_0\sqrt{3}}{2}\cos\omega t, \qquad E_y(z) = \frac{E_0}{2}\cos(\omega t + \pi) = -\frac{E_0}{2}\cos\omega t$$

(Persamaan 5.18)

Sudut polarisasi keluaran:

$$\alpha_{\text{out}} = \arctan\!\left(\frac{-E_0/2}{E_0\sqrt{3}/2}\right) = \arctan\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -30^\circ$$

(Persamaan 5.19)

Jadi, pelat $\lambda/2$ memutar polarisasi linear dari +30° menjadi −30° terhadap sumbu cepat, dengan rotasi total sebesar 60° (aturan umum: $\Delta\alpha = 2\theta$). Rotasi 90° tercapai hanya jika $\theta = 45^\circ$ terhadap sumbu cepat. Properti pemantulan polarisasi ini digunakan dalam beberapa arsitektur LCD VA, di mana pelat $\lambda/2$ dipasang agar polarisasi dari polarizer belakang dipantulkan menjadi sejajar dengan polarizer depan pada kondisi hitam, meningkatkan rasio kontras.

5.4.3 Pelat Satu Gelombang (λ)

Pelat $\lambda$ memberikan retardasi fasa penuh satu siklus ($\Gamma = 2\pi$), sehingga secara teoritis tidak mengubah keadaan polarisasi. Namun, karena retardasi bergantung pada panjang gelombang, pelat $\lambda$ hanya bekerja sempurna untuk satu panjang gelombang spesifik (zero-order waveplate).

5.4.4 Kompensator Babinet–Soleil

Kompensator Babinet–Soleil adalah perangkat optik yang memungkinkan penyesuaian retardasi fasa secara kontinu. Terdiri dari dua wedges kuarsa yang dapat digeser relatif satu sama lain, mengubah ketebalan efektif material birfringen yang dilalui cahaya. Meskipun tidak digunakan langsung dalam LCD produksi, prinsipnya relevan dalam pemahaman tentang kontrol retardasi fasa.

5.4.5 Turunan Matriks Jones untuk Pelat Gelombang

Pada Bab 4 (Subbab 4.2.5), matriks Jones untuk pelat gelombang diberikan dalam bentuk siap pakai. Subbab ini menunjukkan dari mana matriks-matriks tersebut berasal, dengan menurunkannya langsung dari fisika birfringensi yang telah dibahas pada Subbab 5.1–5.3. Turunan ini menjembatani antara deskripsi fisik (indeks bias, ketebalan, panjang gelombang) dan representasi matriks yang digunakan dalam kalkulus Jones.

Akumulasi Fasa dalam Media Anisotropik

Pertimbangkan gelombang planar monokromatik yang merambat sepanjang sumbu $z$ melalui sebuah pelat birfringen dengan ketebalan $d$. Komponen medan listrik pada arah $j$ ($j = x, y$) di dalam material memiliki bilangan gelombang:

$$k_j = \frac{2\pi}{\lambda}\,n_j$$

(Persamaan 5.20)

di mana $n_j$ adalah indeks bias yang dialami komponen $E_j$. Setelah menempuh jarak $d$, setiap komponen mengakumulasi fasa:

$$\phi_j = k_j \, d = \frac{2\pi\, n_j \, d}{\lambda}$$

(Persamaan 5.21)

1 Definisi Sumbu Cepat dan Sumbu Lambat

Dalam pelat gelombang, kita mendefinisikan dua arah tegak lurus:

Sumbu cepat (fast axis): Arah dengan indeks bias lebih kecil $n_f$, sehingga fasa yang terakumulasi lebih sedikit.
Sumbu lambat (slow axis): Arah dengan indeks bias lebih besar $n_s$, sehingga fasa yang terakumulasi lebih banyak.

Birfringensi dinyatakan sebagai $\Delta n = n_s - n_f > 0$ (selalu positif berdasarkan definisi ini), dan retardasi fasa (Persamaan 5.3) menjadi:

$$\Gamma = \phi_s - \phi_f = \frac{2\pi}{\lambda}(n_s - n_f)\,d = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta n\,d$$

(Persamaan 5.22)

Perhatikan bahwa $\Gamma > 0$: komponen sepanjang sumbu lambat selalu mendahului komponen sepanjang sumbu cepat.

2 Matriks Jones pada Sumbu Utama (Fast Axis = $x$)

Pilih sistem koordinat di mana sumbu cepat sejajar sumbu $x$ dan sumbu lambat sejajar sumbu $y$. Maka $n_x = n_f$ dan $n_y = n_s$. Efek pelat terhadap setiap komponen adalah:

$$E_x^{\text{out}} = E_x^{\text{in}}\, e^{i\phi_f}, \qquad E_y^{\text{out}} = E_y^{\text{in}}\, e^{i\phi_s} = E_y^{\text{in}}\, e^{i(\phi_f + \Gamma)}$$

(Persamaan 5.23)

Dalam bentuk matriks:

$$\mathbf{J}_{\text{utama}} = e^{i\phi_f}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.24)

Faktor global $e^{i\phi_f}$ adalah fasa biasa yang diperoleh kedua komponen. Karena faktor ini tidak mempengaruhi keadaan polarisasi (hanya menggeser fasa absolut, yang tidak teramati), kita dapat mengabaikannya dalam kalkulus Jones dan menulis:

$$\boxed{\;\mathbf{J}_{\text{utama}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\;}$$

(Persamaan 5.25)

ⓘ Konvensi Sumbu Cepat dan Tanda Retardasi

Persamaan 5.25 mengasumsikan sumbu cepat sejajar $x$. Jika sebaliknya sumbu cepat sejajar $y$, maka matriksnya menjadi $\begin{pmatrix}e^{i\Gamma} & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. Perbedaan konvensi ini sering menjadi sumber kebingungan. Dalam buku ini, kita secara konsisten menggunakan konvensi Persamaan 5.25: sumbu cepat = sumbu pertama (horizontal/sumbu $x$) ketika pelat tidak dirotasi.

3 Spesialisasi ke Pelat λ/4, λ/2, dan λ

Dengan mensubstitusikan nilai retardasi $\Gamma$ yang sesuai ke Persamaan 5.25, kita memperoleh matriks Jones untuk setiap jenis pelat gelombang:

Pelat λ/4 — $\Gamma = \pi/2$, sehingga $e^{i\Gamma} = e^{i\pi/2} = i$:

$$\mathbf{J}_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.26)

Pelat λ/2 — $\Gamma = \pi$, sehingga $e^{i\Gamma} = e^{i\pi} = -1$:

$$\mathbf{J}_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.27)

Pelat λ — $\Gamma = 2\pi$, sehingga $e^{i\Gamma} = e^{i2\pi} = 1$:

$$\mathbf{J}_{\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}$$

(Persamaan 5.28)

Persamaan 5.28 mengkonfirmasi secara matriks bahwa pelat $\lambda$ tidak mengubah keadaan polarisasi — ia setara dengan matriks identitas. Ini konsisten dengan diskusi pada Subbab 5.4.3.

4 Rotasi ke Orientasi Sembarang — Turunan Formula Umum

Persamaan 5.25–5.28 hanya berlaku ketika sumbu cepat pelat sejajar sumbu $x$. Untuk pelat dengan sumbu cepat pada sudut $\theta$ terhadap sumbu $x$, kita harus melakukan transformasi koordinat tiga langkah:

Langkah (a): Rotasi medan masukan dari kerangka laboratorium ke kerangka pelat. Jika sumbu cepat pelat membentuk sudut $\theta$ dengan sumbu $x$ laboratorium, kita memutar koordinat sebesar $-\theta$ untuk menyelaraskan dengan sumbu pelat:

$$\vec{E}' = \mathbf{R}(-\theta)\,\vec{E}_{\text{in}}, \qquad \mathbf{R}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.29)

Langkah (b): Terapkan matriks Jones pada sumbu utama (Persamaan 5.25):

$$\vec{E}'' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\,\vec{E}'$$

(Persamaan 5.30)

Langkah (c): Rotasi kembali ke kerangka laboratorium dengan memutar sebesar $+\theta$:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \mathbf{R}(\theta)\,\vec{E}''$$

(Persamaan 5.31)

Menggabungkan ketiga langkah:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \mathbf{R}(\theta)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\mathbf{R}(-\theta)\,\vec{E}_{\text{in}}$$

(Persamaan 5.32)

Sehingga matriks Jones untuk pelat gelombang dengan sumbu cepat di sudut $\theta$ adalah:

$$\boxed{\;\mathbf{J}(\theta,\,\Gamma) = \mathbf{R}(\theta)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\mathbf{R}(-\theta)\;}$$

(Persamaan 5.33)

5 Evaluasi Perkalian Matriks — Formula Eksplisit

Sekarang kita lakukan perkalian matriks secara eksplisit untuk memperoleh bentuk tertutup. Pertama, hitung produk matriks dua terakhir:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\mathbf{R}(-\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -e^{i\Gamma}\sin\theta & e^{i\Gamma}\cos\theta \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.34)

Kemudian kalikan dari kiri dengan $\mathbf{R}(\theta)$:

$$\mathbf{J}(\theta,\,\Gamma) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -e^{i\Gamma}\sin\theta & e^{i\Gamma}\cos\theta \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.35)

Hitung setiap elemen satu per satu:

$$J_{11} = \cos^2\!\theta + e^{i\Gamma}\sin^2\!\theta$$

(Persamaan 5.36a)

$$J_{12} = \sin\theta\cos\theta - e^{i\Gamma}\sin\theta\cos\theta = (1 - e^{i\Gamma})\sin\theta\cos\theta$$

(Persamaan 5.36b)

$$J_{21} = \sin\theta\cos\theta - e^{i\Gamma}\sin\theta\cos\theta = (1 - e^{i\Gamma})\sin\theta\cos\theta$$

(Persamaan 5.36c)

$$J_{22} = \sin^2\!\theta + e^{i\Gamma}\cos^2\!\theta$$

(Persamaan 5.36d)

Sehingga diperoleh formula eksplisit matriks Jones retarder linier:

$$\boxed{\;\mathbf{J}(\theta,\,\Gamma) = \begin{pmatrix} \cos^2\!\theta + e^{i\Gamma}\sin^2\!\theta & (1-e^{i\Gamma})\sin\theta\cos\theta \\ (1-e^{i\Gamma})\sin\theta\cos\theta & \sin^2\!\theta + e^{i\Gamma}\cos^2\!\theta \end{pmatrix}\;}$$

(Persamaan 5.37)

Perhatikan bahwa matriks ini simetris ($J_{12} = J_{21}$) dan unitary (mempertahankan intensitas, yaitu $\det\mathbf{J} = e^{i\Gamma}$). Sifat simetri mencerminkan fakta bahwa pelat gelombang tidak memiliki asimetri dalam pemilihan komponen — ia hanya menambahkan fasa pada salah satu sumbu.

6 Penerapan Formula ke Kasus Khusus

Dengan mensubstitusikan pasangan $(\theta,\,\Gamma)$ yang sesuai ke Persamaan 5.37, kita dapat menurunkan semua matriks Jones pelat gelombang pada orientasi sembarang.

(a) QWP dengan sumbu cepat di 45°: Substitusikan $\Gamma = \pi/2$ dan $\theta = 45°$. Karena $e^{i\pi/2} = i$ dan $1 - e^{i\pi/2} = 1-i$, serta $\cos^2 45° = \sin^2 45° = \tfrac{1}{2}$ dan $\sin 45°\cos 45° = \tfrac{1}{2}$:

$$J_{11} = \tfrac{1}{2} + i\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1+i}{2}, \qquad J_{12} = (1-i)\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1-i}{2}$$

(Persamaan 5.38a)

$$\mathbf{J}_{\text{QWP}}(45°) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.38b)

(b) HWP dengan sumbu cepat di 45°: Substitusikan $\Gamma = \pi$ dan $\theta = 45°$. Karena $e^{i\pi} = -1$ dan $1-(-1) = 2$:

$$J_{11} = \tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} = 0, \qquad J_{12} = 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1$$

(Persamaan 5.39a)

$$\mathbf{J}_{\text{HWP}}(45°) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.39b)

Matriks ini menukar komponen $E_x$ dan $E_y$ — inilah mengapa HWP pada 45° memutar polarisasi linear sebesar 90°. Misalnya, polarisasi horizontal $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ berubah menjadi $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ (vertikal).

(c) HWP dengan sumbu cepat di 22,5°: Substitusikan $\Gamma = \pi$ dan $\theta = 22{,}5°$. Karena $e^{i\pi} = -1$ dan $1-(-1) = 2$:

$$J_{11} = \cos^2 22{,}5° - \sin^2 22{,}5° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad J_{12} = 2\sin 22{,}5°\cos 22{,}5° = \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

(Persamaan 5.40a)

(Di sini kita menggunakan identitas trigonometri $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$ dan $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$.)

$$\mathbf{J}_{\text{HWP}}(22{,}5°) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.40b)

Matriks ini memutar polarisasi dari 0° ke 45° — sesuai dengan aturan rotasi $2\theta = 2 \times 22{,}5° = 45°$ yang ditunjukkan pada Contoh 3, Bab 4.

(d) Retarder umum dengan $\theta = 0°$: Substitusikan $\theta = 0°$ ke Persamaan 5.37 memberikan $\cos^2 0° = 1$, $\sin^2 0° = 0$, dan $\sin 0°\cos 0° = 0$:

$$\mathbf{J}(0°,\,\Gamma) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.41)

Ini mengembalikan kita ke Persamaan 5.25 — konsistensi yang diharapkan karena $\theta = 0°$ berarti sumbu cepat sudah sejajar sumbu $x$, sehingga tidak ada rotasi yang diperlukan.

Verifikasi: Keterkaitan Fisik–Matriks

Sebagai verifikasi akhir, mari kita tunjukkan bahwa Persamaan 5.25 menghasilkan Persamaan 5.8 (Subbab 5.3.2) ketika diterapkan pada polarisasi linear 45°. Vektor Jones masukan:

$$\vec{E}_{\text{in}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.42)

Terapkan matriks Jones pada sumbu utama dengan retardasi sembarang $\Gamma$:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & e^{i\Gamma}\end{pmatrix}\frac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\e^{i\Gamma}\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.43)

Komponen medan listrik riil (mengambil bagian real dari representasi kompleks):

$$E_x(t) = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t), \qquad E_y(t) = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t + \Gamma)$$

(Persamaan 5.44)

Ini identik dengan Persamaan 5.8 (dengan $kz = 0$ pada bidang keluaran). Matriks Jones bukan sekadar representasi abstrak — ia merupakan ekspresi langsung dari akumulasi fasa dalam material birfringen.

Ringkasan Matriks Jones Pelat Gelombang

Tabel berikut merangkum seluruh matriks Jones pelat gelombang yang telah diturunkan, beserta kondisi fisik yang menghasilkannya:

Pelat Gelombang	Kondisi Fisik	Matriks Jones (sumbu utama)
Umum (fast axis = $x$)	$\Gamma = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta n\,d$	$\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Gamma}\end{pmatrix}$
Pelat $\lambda/4$	$\Gamma = \pi/2$	$\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}$
Pelat $\lambda/2$	$\Gamma = \pi$	$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
Pelat $\lambda$	$\Gamma = 2\pi$	$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\mathbf{I}$
Umum (fast axis di $\theta$)	Rotasi dari sumbu utama	Persamaan 5.37
QWP, fast axis 45°	$\Gamma=\pi/2,\;\theta=45°$	$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{pmatrix}$
HWP, fast axis 45°	$\Gamma=\pi,\;\theta=45°$	$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
HWP, fast axis 22,5°	$\Gamma=\pi,\;\theta=22{,}5°$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$

◆ Contoh Soal — Menurunkan Matriks QWP pada Sudut Sembarang

Soal: Gunakan Persamaan 5.37 untuk menurunkan matriks Jones QWP dengan sumbu cepat pada sudut $\theta = 30°$. Kemudian verifikasi bahwa matriks ini mengubah polarisasi linear horizontal menjadi polarisasi eliptis dan hitung rasio amplitudo komponennya.

Penyelesaian:

Substitusikan $\Gamma = \pi/2$ (sehingga $e^{i\Gamma} = i$ dan $1-e^{i\Gamma} = 1-i$) dan $\theta = 30°$ ke Persamaan 5.37:

$$J_{11} = \cos^2 30° + i\sin^2 30° = \frac{3}{4} + i\cdot\frac{1}{4} = \frac{3+i}{4}$$

(Persamaan 5.45a)

$$J_{12} = J_{21} = (1-i)\sin 30°\cos 30° = (1-i)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(1-i)}{4}$$

(Persamaan 5.45b)

$$J_{22} = \sin^2 30° + i\cos^2 30° = \frac{1}{4} + i\cdot\frac{3}{4} = \frac{1+3i}{4}$$

(Persamaan 5.45c)

Terapkan ke vektor masukan $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (polarisasi linear horizontal):

$$\vec{E}_{\text{out}} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}3+i\\\sqrt{3}(1-i)\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.46)

Amplitudo komponen: $|E_x|^2 = \frac{9+1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ dan $|E_y|^2 = \frac{3(1+1)}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. Karena $|E_x| \neq |E_y|$ dan komponen tidak sefasa, hasilnya adalah polarisasi eliptis dengan rasio amplitudo $|E_x|/|E_y| = \sqrt{5/3} \approx 1{,}29$. Ini konsisten dengan fakta bahwa QWP hanya menghasilkan polarisasi sirkular ketika sudut antara polarisasi masukan dan sumbu cepat tepat 45°. Pada 30°, komponen tidak seimbang sehingga elips tidak menjadi lingkaran.

◆ Contoh Soal — Menurunkan Matriks HWP pada Sudut Sembarang dan Verifikasi Aturan $2\theta$

Soal: Dari Persamaan 5.37 dengan $\Gamma = \pi$, tunjukkan secara umum bahwa HWP memantulkan (mencerminkan) polarisasi linear tentang sumbu cepat. Kemudian terapkan untuk $\theta = 60°$ dengan masukan polarisasi linear pada 20°.

Penyelesaian:

Dengan $\Gamma = \pi$ ($e^{i\pi} = -1$, $1-e^{i\pi} = 2$), Persamaan 5.37 menjadi:

$$\mathbf{J}_{\text{HWP}}(\theta) = \begin{pmatrix}\cos^2\!\theta - \sin^2\!\theta & 2\sin\theta\cos\theta\\2\sin\theta\cos\theta & \sin^2\!\theta - \cos^2\!\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos 2\theta & \sin 2\theta\\\sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.47)

Untuk masukan polarisasi linear pada sudut $\alpha$: $\vec{E}_{\text{in}} = \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix}$:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}\cos 2\theta & \sin 2\theta\\\sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos 2\theta\cos\alpha + \sin 2\theta\sin\alpha\\\sin 2\theta\cos\alpha - \cos 2\theta\sin\alpha\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.48)

Menggunakan identitas penjumlahan sudut:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}\cos(2\theta - \alpha)\\\sin(2\theta - \alpha)\end{pmatrix}$$

(Persamaan 5.49)

Ini adalah polarisasi linear pada sudut $\alpha_{\text{out}} = 2\theta - \alpha$. Jika mendefinisikan sudut relatif terhadap sumbu cepat: $\alpha' = \alpha - \theta$, maka $\alpha'_{\text{out}} = (2\theta - \alpha) - \theta = \theta - \alpha = -\alpha'$. Polarisasi dicerminkan tentang sumbu cepat. Rotasi total: $\Delta\alpha = \alpha_{\text{out}} - \alpha = 2\theta - 2\alpha = 2(\theta - \alpha)$. Jika $\alpha = 0$ (masukan horizontal), $\Delta\alpha = 2\theta$ — inilah aturan $2\theta$.

Untuk $\theta = 60°$ dan $\alpha = 20°$: $\alpha_{\text{out}} = 2(60°) - 20° = 100°$. Rotasi total = $100° - 20° = 80°$. Atau dari aturan: $\Delta\alpha = 2(60° - 20°) = 80°$ — konsisten. Hasilnya adalah polarisasi linear pada 100° (atau ekuivalen, −80° dari horizontal).

ⓘ Relevansi Turunan Ini untuk LCD

Turunan matriks Jones dari prinsip birfringensi memiliki implikasi langsung dalam rekayasa LCD:

Mode TN: Molekul LC tersusun spiral, sehingga retardasi efektif bervariasi sepanjang ketebalan. Analisis lengkap memerlukan pemotongan sel menjadi $N$ lapisan tipis, masing-masing dengan matriks Jones $\mathbf{J}(\theta_i,\,\Gamma_i)$, lalu mengalikan seluruhnya: $\mathbf{J}_{\text{TN}} = \prod_{i=1}^{N}\mathbf{J}(\theta_i,\,\Gamma_i)$. Ini dikenal sebagai Jones matrix method untuk LCD, yang meluas menjadi Gooch–Tarry dan metode extended Jones matrix untuk sudut pandang miring.
Mode IPS/VA: Tegangan mengubah $\Gamma$ (melalui perubahan $\Delta n_{\text{ef}}$) dan/atau $\theta$ (melalui rotasi molekul). Persamaan 5.37 memberikan hubungan langsung antara parameter fisik LC dan respons optik piksel.
Film kompensasi: Setiap lapisan A-plate atau C-plate dimodelkan sebagai retarder linier dengan $(\theta_i,\,\Gamma_i)$ spesifik, dan matriks total seluruh tumpukan dikalikan untuk mengoptimalkan performa sudut pandang.

5.5 Aplikasi Birfringensi dalam Tampilan

Retardasi Fasa Molekul Kristal Cair dalam LCD

Prinsip dasar LCD bergantung pada kemampuan untuk mengontrol retardasi fasa yang dihasilkan lapisan kristal cair. Tanpa tegangan, molekul kristal cair dalam mode TN tersusun spiral, memberikan retardasi tertentu yang memutar polarisasi 90°. Dengan tegangan, molekul sejajar dengan medan listrik, menghilangkan birfringensi efektif untuk cahaya yang merambat sepanjang sumbu molekul.

Untuk operasi yang optimal, ketebalan sel LC ($d$) dan birfringensi ($\Delta n$) harus dipilih sehingga produk $d\Delta n$ memberikan retardasi yang diinginkan. Untuk mode TN standar pada panjang gelombang hijau ($\lambda = 550$ nm):

$$d\Delta n \approx \frac{\lambda}{\sqrt{3}} \approx 318 \text{ nm}$$

(Persamaan 5.50)

Film Kompensasi Optis

Film kompensasi optis (optical compensation film) adalah lapisan birfringen tambahan yang ditempatkan di antara polarizer dan panel LC untuk memperbaiki kualitas gambar. Film ini dirancang untuk mengkompensasi retardasi residu yang menyebabkan pergeseran warna dan penurunan kontras pada sudut pandang miring. Jenis-jenis film kompensasi meliputi:

A-plate: Memiliki sumbu optik sejajar dengan permukaan film. Kompensasi untuk cahaya yang merambat miring di bidang tertentu. Dalam notasi matriks Jones, A-plate dimodelkan sebagai $\mathbf{J}(\theta_A,\,\Gamma_A)$ sesuai Persamaan 5.37.
C-plate: Memiliki sumbu optik tegak lurus terhadap permukaan film. Kompensasi untuk cahaya yang merambat hampir normal. Untuk cahaya normal, C-plate berperan sebagai retarder dengan sumbu sejajar/tegak lurus bidang insidensi, tergantung sudut pandang.
Biaxial film: Memiliki tiga indeks bias berbeda, memberikan kompensasi yang lebih komprehensif untuk semua sudut pandang. Dalam analisis matriks Jones, film biaxial memerlukan metode extended Jones matrix yang memperhitungkan komponen medan listrik sepanjang arah perambatan.

Peningkatan Sudut Pandang Tampilan

Tanpa film kompensasi, panel TN mengalami contrast inversion pada sudut pandang tertentu (area gelap terlihat terang dan sebaliknya) serta pergeseran warna yang signifikan. Penggunaan tumpukan film kompensasi yang tepat (misalnya A-plate + C-plate pada panel IPS) dapat mempertahankan rasio kontras di atas 10:1 hingga sudut 85° dari normal.

Perkembangan film kompensasi merupakan salah satu kontribusi teknologi terpenting yang memungkinkan LCD menggantikan CRT. Pada awal 1990-an, panel TN tanpa kompensasi memiliki sudut pandang yang sangat terbatas (sekitar 90° horizontal). Dengan film kompensasi modern yang dirancang menggunakan kalkulus Jones (Persamaan 5.33–5.37), panel IPS dan VA mencapai sudut pandang 178° yang setara dengan CRT.

Soal Latihan Bab 5

Soal 5.1

Sebuah pelat kalsit ($\Delta n = -0{,}172$) memiliki ketebalan 50 μm. Hitunglah retardasi fasa untuk cahaya dengan panjang gelombang 633 nm (He-Ne laser). Nyatakan hasilnya dalam radian dan dalam kelipatan panjang gelombang.

Soal 5.2

Berapakah ketebalan minimum pelat $\lambda/4$ yang terbuat dari kalsit ($\Delta n = -0{,}172$) untuk panjang gelombang 550 nm?

Soal 5.3

Sebuah sel LCD mode TN menggunakan kristal cair dengan $\Delta n = 0{,}12$. Berapakah ketebalan sel yang diperlukan agar $d\Delta n = 318$ nm? Jika ketebalan aktualnya 4 μm, berapakah $d\Delta n$ aktualnya dan apa implikasinya terhadap kinerja tampilan?

Soal 5.4

Cahaya terpolarisasi linear pada sudut 15° terhadap sumbu cepat sebuah pelat $\lambda/2$. Tentukan arah polarisasi keluaran dan besar rotasi totalnya.

Soal 5.5

Jelaskan mengapa pelat $\lambda/4$ sering digunakan di depan panel LCD dalam konfigurasi reflektif (seperti pada layar jam digital dan kalkulator) tetapi tidak selalu diperlukan pada LCD transmisi biasa.

Soal 5.6

Mengapa kristal cair memiliki birfringensi yang jauh lebih besar dibandingkan kebanyakan kristal padat? Hubungkan dengan sifat orientasi molekul dan anisotropi polarisabilitas molekuler.

Soal 5.7

Gunakan Persamaan 5.37 untuk menurunkan matriks Jones QWP dengan sumbu cepat pada sudut $\theta = -45°$. Bandingkan hasilnya dengan matriks QWP pada $\theta = +45°$ (Persamaan 5.38b). Apa perbedaan fisis antara keduanya?

Soal 5.8

Buktikan bahwa matriks Jones retarder linier (Persamaan 5.37) bersifat unitary, yaitu $\mathbf{J}^\dagger\mathbf{J} = \mathbf{I}$, di mana $\mathbf{J}^\dagger$ adalah konjugat transpos. Jelaskan makna fisik dari sifat unitary ini.

Soal 5.9

Sebuah film A-plate kompensasi dengan retardasi $\Gamma = \pi/3$ dan sumbu cepat pada $\theta = 0°$ ditempatkan setelah polarizer horizontal. Hitunglah vektor Jones keluaran dan tentukan jenis polarisasi yang dihasilkan. Kemudian, jika orientasi A-plate diubah ke $\theta = 90°$, apa yang berubah?

Soal 5.10

Dengan mensubstitusikan $\Gamma = 2\pi m$ (di mana $m$ bilangan bulat) ke Persamaan 5.37, buktikan bahwa hasilnya selalu matriks identitas terlepas dari nilai $\theta$. Ini menjelaskan mengapa pelat $m\lambda$ (zero-order, first-order, dst.) tidak mengubah polarisasi. Mengapa dalam praktiknya pelat higher-order tetap menyebabkan sedikit perubahan polarisasi?